Existem alguns programas que podem ser utilizados para calcular o valor aproximado de Pi com n casas decimais, e abaixo cito dois bastante importantes e precisos. Atenção, dedique seu computador para este processo, pois irá utilizar muito sua CPU. Recomendo o uso de um cluster para o cálculo.
Linux: Compute Archimedes' constant Pi to arbitrary precision
http://dir.filewatcher.com/d/Debian/hurd-i386/math/pi_1.1.13-2_hurd-i386.deb.7958.html
Obs: possui pacotes para Debian e Ubuntu (apt-get install pi)
Windows:
http://files.extremeoverclocking.com/file.php?f=36
Caro professor Jean Piton, esse misterioso número tem este nome por um erro conceitual.
ResponderExcluirAcredito que seja, na verdade, um limite de função.
Também, por esta mesma conclusão, não é um número irracional, pois, na verdade, irracional seria a função seno.
Isto eu poderia tentar demostrar (até para ver onde me engano) através do seguinte:
Pi = Lim (F seno (180/F))
F -> oo
sendo F pertencente ao conjunto dos números naturais maiores que 2 e a razão 180/F em graus de ângulo.
Caro Mauro
ResponderExcluirO número Pi (constante de arquimedes) sempre foi, e será, objeto de estudo, curiosidade e misticismo. Muitas questões importantes envolvem o Pi, como por exemplo a incomensurabilidade. Ao longo da história, diversos matemáticos, físicos e engenheiros mostraram diferentes formas de se aproximar o irracional Pi para um racional.
Creio que a sua proposta baseia-se na idéia da aproximação de um n-ágono regular para uma circunferência (Arquimedes). Creio que você utilizou o cálculo das cordas e do comprimento da circunferência para isso, chegando na expressão mostrada. Agora, cuidado. Para dizer que Pi equivale ao limite, isso precisa ser provado.
Para complementar, existem muitas fórmulas de Pi. Como exemplos cito: fórmula de Machin's (http://mathworld.wolfram.com/MachinsFormula.html), pela função Zeta de Riemann (http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html), Newton propôs uma versão integral para o cálculo de Pi, entre outras. Por isso por limite pode ser mais uma possibilidade (Veja o livro de Cálculo do Courant sobre Pi e limites).
O projeto Archimede's Limit construiu fisicamente essa idéia do n-ágono regular (http://www.taomc.com/educational_uses/teaching_machines/archimedes_limit.html).
Por fim, existem mil maneiras de se calcular e aproximar Pi. O mais complicado e interessante é prová-las de forma rigorosa e consistente (lógica).
Jean
Caro Professor, obrigado por suas dicas. Vou ler sobre o assunto, conforme a bibliografia apresentada.
ResponderExcluirAgora, se puder me dar uma dica, como se prova um limite, quanto a variável independente tende para infinito?
Professor Jean Piton, ainda aqui, poderia analisar esta outra 'coisa' que, nas minhas brincadeiras de pesquisa, 'descobri'? Não achei nenhum tópico em que poderia comentar isto, por isto peço sua paciência para aceitá-lo aqui.
ResponderExcluir'Descobri' uma fórmula que gera fórmulas.
Explico: para todas as figuras que tenham relação com a circunferência (comprimento, área do círculo, volume da esfera)
M = 2 . (d - 1)! . pi . r ^ d / d
Sendo 'M' a fórmula obtida da dimensão 'd' informada.
O que acha desta curiosidade?
Caro Mauro
ResponderExcluirPara se provar, deve-se recorrer aos "epsilons" e "deltas". O ideal é recorrermos à Análise Matemática. Recomendo este link: http://www.icmc.sc.usp.br/~pztaboas/nocte/node10.html
O livro do Elon Lages Lima, Curso de Análise vol. 1 do IMPA tem maiores detalhes Cap VI (é um livro que é de baixo custo e muito bom).
Jean
Caro Mauro
ResponderExcluirMe parece que você gosta de Matemática!!!
Infelizmente eu não consigo responder a todas às questões e dúvidas de todos os visitantes do Blog, devido à falta de tempo demandado pelo trabalho na universidade.
Mas percebo que gosta de matemática e de explorá-la. Isso é muito bom !!! Tem estudantes que passam uma graduação inteira e não tem este espírito da curiosidade matemática. No yahoo, orkut, existem muitas comunidades de pessoas que gostam disso. Vai aí minha sugestão.
Quanto à sua fórmula, fiz alguns testes e ela funciona. Muito legal.
Só uma ressalva para a palavra "dimensão" não está muito bem empregada, pois em Matemática ela tem um sentido bem mais amplo. Posso ter um objeto no espaço e ainda querer calcular sua área (que é dimensão 2). Um exemplo é a área da supefície de uma esfera.
Um desafio: tente elaborar uma fórmula, mas agora considerando uma elipse (lembrando que numa elipse de semieixos a e b, se a=b então é uma circunferência de raio r=a=b).
Jean
ps: se tiver algo interessante, me envie por e-mail.
Caro Professor,
ResponderExcluirmuito obrigado. O Sr., de longe, é a pessoa mais graduada e mais acessível que se tem notícia. Obrigado de novo.
Professor, acredite ou não, sou fraquíssimo em matemática. Faço, aliás, desta minha fraqueza justamente um motivo de luta, de pensar continuamente, para suplantar a deficiência.
Meu enbasamento é totalmente autodidata, o que, logo se vê, não traz bons resultados. Tenho o segundo-grau e muito mal feito, diga-se a verdade.
Obrigado por seu apoio, paciência e uma grande parte de seu precioso tempo. Vou tentar fazer o que sugeriu, tanto pesquisar a bibliografia sugerida, quanto tentar achar a tal fórmula tendo como base a elipe.
Muito obrigado de novo.
Mauro
Mauro.
ResponderExcluirObrigado. Conhece a história de Pierre de Fermat? (http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/fermat/biografia.htm) Ele foi matemático nas horas vagas. Se puder leia o livro sobre ele "O último teorema de fermat". É muito inspirador.
E não se preocupe, Matemática é algo que pode ser aprendida. Eu cursei a vida toda na escola pública por não poder pagar escola particular (médio e fundamental) e tive pouca base em tudo. Mas isso nunca me impediu de atingir minhas metas ... nada que o tempo e o esforço não nos melhorem...
Você ser autodidata é fundamental no mundo de hoje. Sabe que este é o tipo de perfil ideal para um aluno de curso a distância? Já pensou em fazer uma graduação em Matemática a distância? Tem muitas universidades federais que oferecem gratuitamente. Veja em:
http://portal.mec.gov.br/seed
http://uab.capes.gov.br/
Jean
Mauro
ResponderExcluirRecebi a última mensagem. Quanto a questão "empecilho" não se preocupe. Tenho um grande amigo professor que se formou em Matemática recentemente na mesma condição e está muito feliz e realizado hoje.
Em minha página acadêmica tem meu email.
Boa Sorte
Jean